Herleitung der Gleichung \( \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + p c \)

1. Ausgangspunkt: Relativistische Energie

Die totale Energie \( E \) eines Teilchens in der speziellen Relativitätstheorie wird durch folgende Beziehung beschrieben:

\[ E = \gamma m_0 c^2 \]

Hier ist:

2. Relativistischer Impuls

Der Impuls \( p \) eines relativistischen Teilchens wird definiert als:

\[ p = \gamma m_0 v \]

3. Energie-Impuls-Beziehung

Die totale Energie \( E \) eines Teilchens kann auch aus dem Impuls ausgedrückt werden, unter Verwendung der Energie-Impuls-Beziehung:

\[ E^2 = (m_0 c^2)^2 + (pc)^2 \]

4. Umformen der totalen Energie

Die totale Energie \( E \) lässt sich daher als Summe der Ruheenergie \( m_0 c^2 \) und eines zusätzlichen Terms ausdrücken:

\[ E = m_0 c^2 + pc \]

5. Gleichsetzen

Die totale Energie aus der Lorentz-Beziehung und der Energie-Impuls-Beziehung müssen übereinstimmen. Setzen wir:

\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + pc \]

6. Bedeutung

Die Gleichung zeigt, dass die totale Energie \( \gamma m_0 c^2 \) aus der Ruheenergie \( m_0 c^2 \) und der Energie des Impulses \( pc \) besteht. Sie verbindet die Konzepte der relativistischen Masse, Energie und des Impulses in einer einzigen Beziehung.