Der Lorentz-Faktor (γ
) ist eine fundamentale Größe in der speziellen Relativitätstheorie
und ergibt sich aus der Beziehung zwischen Zeit, Raum und Geschwindigkeit. Hier ist die Herleitung:
In der speziellen Relativitätstheorie wird angenommen, dass die Zeit für einen bewegten Beobachter langsamer vergeht als für einen ruhenden Beobachter. Dies wird durch die Zeitdilatationsformel beschrieben:
Hier ist:
Δt
: Die Zeitspanne für den ruhenden Beobachter,Δt0
: Die Eigenzeit, also die Zeitspanne für den mitbewegten Beobachter,v
: Die Geschwindigkeit des bewegten Systems,c
: Die Lichtgeschwindigkeit.Der Faktor vor Δt0
, also 1 / √(1 - v2/c2)
, ist der Lorentz-Faktor γ
.
Der Lorentz-Faktor ergibt sich direkt aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen und aus dem Satz des Pythagoras.
Betrachten wir ein Lichtsignal, das sich in einem mitbewegten Bezugssystem (S'
) hin und her bewegt. Die Strecke, die das Licht zurücklegt, ist:
In einem anderen Bezugssystem (S
), das relativ zu S'
bewegt ist, hat das Lichtsignal die Distanz Δx = v Δt
zurückgelegt. Setzen wir dies in die Formel ein:
Teilen wir beide Seiten durch c2
, um (Δt)
zu isolieren:
Δt
Nun ergibt sich:
Der Faktor 1 / √(1 - v2/c2)
ist der Lorentz-Faktor:
Der Lorentz-Faktor beschreibt, wie Zeit, Länge und Masse in relativistischen Geschwindigkeiten transformiert werden.
v << c
) ist γ ≈ 1
, d.h., klassische Mechanik ist eine Näherung.v → c
) wird γ → ∞
, was zeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit eine unüberwindbare Grenze ist.Das ist die Herleitung des Lorentz-Faktors!