Herleitung des Lorentz-Faktors

Der Lorentz-Faktor (γ) ist eine fundamentale Größe in der speziellen Relativitätstheorie und ergibt sich aus der Beziehung zwischen Zeit, Raum und Geschwindigkeit. Hier ist die Herleitung:

1. Der Kontext: Zeitdilatation

In der speziellen Relativitätstheorie wird angenommen, dass die Zeit für einen bewegten Beobachter langsamer vergeht als für einen ruhenden Beobachter. Dies wird durch die Zeitdilatationsformel beschrieben:

Δt = Δt0 / √(1 - v2/c2)

Hier ist:

Der Faktor vor Δt0, also 1 / √(1 - v2/c2), ist der Lorentz-Faktor γ.

2. Die Herleitung: Geometrische Interpretation

Der Lorentz-Faktor ergibt sich direkt aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen und aus dem Satz des Pythagoras.

Schritt 1: Bewegung eines Lichtsignals

Betrachten wir ein Lichtsignal, das sich in einem mitbewegten Bezugssystem (S') hin und her bewegt. Die Strecke, die das Licht zurücklegt, ist:

c2 (Δt)2 = (Δx)2 + c2 (Δt0)2

Schritt 2: Bewegung relativ zum Ruhesystem

In einem anderen Bezugssystem (S), das relativ zu S' bewegt ist, hat das Lichtsignal die Distanz Δx = v Δt zurückgelegt. Setzen wir dies in die Formel ein:

c2 (Δt)2 = (v Δt)2 + c2 (Δt0)2

Schritt 3: Umstellen

Teilen wir beide Seiten durch c2, um (Δt) zu isolieren:

(Δt)2 = (Δt0)2 / (1 - v2/c2)

Schritt 4: Isolieren von Δt

Nun ergibt sich:

Δt = Δt0 / √(1 - v2/c2)

3. Der Lorentz-Faktor

Der Faktor 1 / √(1 - v2/c2) ist der Lorentz-Faktor:

γ = 1 / √(1 - v2/c2)

4. Bedeutung und Anwendungen

Der Lorentz-Faktor beschreibt, wie Zeit, Länge und Masse in relativistischen Geschwindigkeiten transformiert werden.

Das ist die Herleitung des Lorentz-Faktors!