Herleitung und Lösung der Gleichung

Wir möchten die Gleichung

\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + p c \]

systematisch herleiten und auflösen.

1. Definitionen

Die relevanten Größen sind:

2. Umstellen der Gleichung

Starten wir mit der Gleichung:

\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + p c \]

Schritt 1: Ausdruck für den Impuls einsetzen

Wir ersetzen \( p \) durch seine Definition \( p = \gamma m_0 v \):

\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + \gamma m_0 v c \]

Schritt 2: Faktorisieren

Wir bringen alle Terme mit \( \gamma m_0 \) auf eine Seite:

\[ \gamma m_0 (c^2 - v c) = m_0 c^2 \]

Schritt 3: Vereinfachen

Teilen durch \( m_0 \) und lösen nach \( \gamma \):

\[ \gamma = \frac{c^2}{c^2 - v c} \]

3. Physikalische Interpretation

Die Gleichung zeigt, dass die gesamte Energie eines relativistischen Teilchens aus seiner Ruheenergie \( m_0 c^2 \) und seiner kinetischen Energie \( p c \) besteht.

4. Ergebnis

Die Gleichung wurde erfolgreich hergeleitet:

\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + p c \]

Sie beschreibt die Energie-Masse-Beziehung in der speziellen Relativitätstheorie.