Die Gleichung, die wir herleiten wollen, lautet:
\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + p c \]
Die Gesamtenergie eines Körpers im relativistischen Zusammenhang ist:
\[ E = \gamma m_0 c^2 \]
Der Lorentz-Faktor \( \gamma \) ist definiert als:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Die Gesamtenergie eines Teilchens mit Ruhemasse \( m_0 \) und relativistischem Impuls \( p \) ist gegeben durch:
\[ E = \sqrt{(m_0 c^2)^2 + (p c)^2} \]
Der Impuls \( p \) eines Teilchens mit Geschwindigkeit \( v \) ist gegeben durch:
\[ p = \gamma m_0 v \]
Nun setzen wir die beiden Ausdrücke für die Energie gleich:
\[ \gamma m_0 c^2 = \sqrt{(m_0 c^2)^2 + (p c)^2} \]
Um die Wurzel zu eliminieren, quadrieren wir beide Seiten der Gleichung:
\[ (\gamma m_0 c^2)^2 = (m_0 c^2)^2 + (p c)^2 \]
Dies ergibt:
\[ \gamma^2 m_0^2 c^4 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2 \]
Nun isolieren wir den Impuls:
\[ \gamma^2 m_0^2 c^4 - m_0^2 c^4 = p^2 c^2 \]
Faktorisiere die linke Seite:
\[ m_0^2 c^4 (\gamma^2 - 1) = p^2 c^2 \]
Teilen durch \( c^2 \):
\[ m_0^2 c^2 (\gamma^2 - 1) = p^2 \]
Nun ziehen wir die Quadratwurzel:
\[ p = m_0 c \sqrt{\gamma^2 - 1} \]
Damit haben wir den Impuls \( p \) in Bezug auf die Ruhemasse \( m_0 \) und den Lorentz-Faktor \( \gamma \) ausgedrückt.