Der Lorentz-Faktor \( \gamma \) ist eine fundamentale Größe in der speziellen Relativitätstheorie und ergibt sich aus der Beziehung zwischen Zeit, Raum und Geschwindigkeit. Hier ist die Herleitung:
In der speziellen Relativitätstheorie wird angenommen, dass die Zeit für einen bewegten Beobachter langsamer vergeht als für einen ruhenden Beobachter. Dies wird durch die Zeitdilatationsformel beschrieben:
\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Hier ist:
Der Faktor vor \( \Delta t_0 \), also \( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \), ist der Lorentz-Faktor \( \gamma \).
Der Lorentz-Faktor ergibt sich direkt aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen und aus dem Satz des Pythagoras.
Betrachten wir ein Lichtsignal, das sich in einem mitbewegten Bezugssystem (\( S' \)) hin und her bewegt. Die Strecke, die das Licht zurücklegt, ist:
\[ c^2 (\Delta t)^2 = (\Delta x)^2 + c^2 (\Delta t_0)^2 \]
In einem anderen Bezugssystem (\( S \)), das relativ zu \( S' \) bewegt ist, hat das Lichtsignal die Distanz \( \Delta x = v \Delta t \) zurückgelegt. Setzen wir dies in die Formel ein:
\[ c^2 (\Delta t)^2 = (v \Delta t)^2 + c^2 (\Delta t_0)^2 \]
Teilen wir beide Seiten durch \( c^2 \), um \( (\Delta t) \) zu isolieren:
\[ (\Delta t)^2 = \frac{(\Delta t_0)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
Nun ergibt sich:
\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Der Faktor \( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \) ist der Lorentz-Faktor:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Der Lorentz-Faktor beschreibt, wie Zeit, Länge und Masse in relativistischen Geschwindigkeiten transformiert werden.
Das ist die Herleitung des Lorentz-Faktors!