Herleitung des Lorentz-Faktors

Der Lorentz-Faktor \( \gamma \) ist eine fundamentale Größe in der speziellen Relativitätstheorie und ergibt sich aus der Beziehung zwischen Zeit, Raum und Geschwindigkeit. Hier ist die Herleitung:

1. Der Kontext: Zeitdilatation

In der speziellen Relativitätstheorie wird angenommen, dass die Zeit für einen bewegten Beobachter langsamer vergeht als für einen ruhenden Beobachter. Dies wird durch die Zeitdilatationsformel beschrieben:

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Hier ist:

• \( \Delta t \): Die Zeitspanne für den ruhenden Beobachter,
• \( \Delta t_0 \): Die Eigenzeit, also die Zeitspanne für den mitbewegten Beobachter,
• \( v \): Die Geschwindigkeit des bewegten Systems,
• \( c \): Die Lichtgeschwindigkeit.

Der Faktor vor \( \Delta t_0 \), also \( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \), ist der Lorentz-Faktor \( \gamma \).

2. Die Herleitung: Geometrische Interpretation

Der Lorentz-Faktor ergibt sich direkt aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen und aus dem Satz des Pythagoras.

Schritt 1: Bewegung eines Lichtsignals

Betrachten wir ein Lichtsignal, das sich in einem mitbewegten Bezugssystem (\( S' \)) hin und her bewegt. Die Strecke, die das Licht zurücklegt, ist:

\[ c^2 (\Delta t)^2 = (\Delta x)^2 + c^2 (\Delta t_0)^2 \]

Schritt 2: Bewegung relativ zum Ruhesystem

In einem anderen Bezugssystem (\( S \)), das relativ zu \( S' \) bewegt ist, hat das Lichtsignal die Distanz \( \Delta x = v \Delta t \) zurückgelegt. Setzen wir dies in die Formel ein:

\[ c^2 (\Delta t)^2 = (v \Delta t)^2 + c^2 (\Delta t_0)^2 \]

Schritt 3: Umstellen

Teilen wir beide Seiten durch \( c^2 \), um \( (\Delta t) \) zu isolieren:

\[ (\Delta t)^2 = \frac{(\Delta t_0)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]

Schritt 4: Isolieren von \( \Delta t \)

Nun ergibt sich:

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

3. Der Lorentz-Faktor

Der Faktor \( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \) ist der Lorentz-Faktor:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

4. Bedeutung und Anwendungen

Der Lorentz-Faktor beschreibt, wie Zeit, Länge und Masse in relativistischen Geschwindigkeiten transformiert werden.

• Bei niedrigen Geschwindigkeiten (\( v \ll c \)) ist \( \gamma \approx 1 \), d.h., klassische Mechanik ist eine Näherung.
• Bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit (\( v \to c \)) wird \( \gamma \to \infty \), was zeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit eine unüberwindbare Grenze ist.

Das ist die Herleitung des Lorentz-Faktors!