Herleitung der Lorentz-Gleichung

Die Gleichung, die wir herleiten wollen, lautet:

\[ \gamma m_0 c^2 = m_0 c^2 + p c \]

Schritt 1: Ausgangspunkt der relativistischen Energie

Die Gesamtenergie eines Körpers im relativistischen Zusammenhang ist:

\[ E = \gamma m_0 c^2 \]

Der Lorentz-Faktor \( \gamma \) ist definiert als:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Schritt 2: Relativistische Energie und Impuls

Die Gesamtenergie eines Teilchens mit Ruhemasse \( m_0 \) und relativistischem Impuls \( p \) ist gegeben durch:

\[ E = \sqrt{(m_0 c^2)^2 + (p c)^2} \]

Der Impuls \( p \) eines Teilchens mit Geschwindigkeit \( v \) ist gegeben durch:

\[ p = \gamma m_0 v \]

Schritt 3: Setzen der beiden Ausdrücke gleich

Nun setzen wir die beiden Ausdrücke für die Energie gleich:

\[ \gamma m_0 c^2 = \sqrt{(m_0 c^2)^2 + (p c)^2} \]

Schritt 4: Quadrieren beider Seiten

Um die Wurzel zu eliminieren, quadrieren wir beide Seiten der Gleichung:

\[ (\gamma m_0 c^2)^2 = (m_0 c^2)^2 + (p c)^2 \]

Dies ergibt:

\[ \gamma^2 m_0^2 c^4 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2 \]

Schritt 5: Umstellen der Gleichung

Nun isolieren wir den Impuls:

\[ \gamma^2 m_0^2 c^4 - m_0^2 c^4 = p^2 c^2 \]

Faktorisiere die linke Seite:

\[ m_0^2 c^4 (\gamma^2 - 1) = p^2 c^2 \]

Teilen durch \( c^2 \):

\[ m_0^2 c^2 (\gamma^2 - 1) = p^2 \]

Schritt 6: Schlussfolgerung

Nun ziehen wir die Quadratwurzel:

\[ p = m_0 c \sqrt{\gamma^2 - 1} \]

Damit haben wir den Impuls \( p \) in Bezug auf die Ruhemasse \( m_0 \) und den Lorentz-Faktor \( \gamma \) ausgedrückt.